Matematica discreta Esempi

$f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$ come un'equazione.

$y = \log_{3} (x - 4) + 1$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \log_{3} (y - 4) + 1$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{3} (y - 4) + 1 = x$ .

$\log_{3} (y - 4) + 1 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\log_{3} (y - 4) = x - 1$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\log_{3} (y - 4) = x - 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x - 1} = y - 4$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $y - 4 = 3^{x - 1}$ .

$y - 4 = 3^{x - 1}$

Passaggio 3.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 3^{x - 1} + 4$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$ è l'inverso di $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = 3^{(\log_{3} (x - 4) + 1) - 1} + 4$

Passaggio 5.2.3

Combina i termini opposti in $3^{(\log_{3} (x - 4) + 1) - 1} + 4$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = 3^{\log_{3} (x - 4) + 0} + 4$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $\log_{3} (x - 4)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = 3^{\log_{3} (x - 4)} + 4$

Passaggio 5.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = x - 4 + 4$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $x - 4 + 4$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{3} (x - 4) + 1) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (3^{x - 1} + 4)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = \log_{3} ((3^{x - 1} + 4) - 4) + 1$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $\log_{3} ((3^{x - 1} + 4) - 4) + 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = \log_{3} (3^{x - 1} + 0) + 1$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $3^{x - 1}$ e $0$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = \log_{3} (3^{x - 1}) + 1$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.4.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 1$ dall'esponente.

$f (3^{x - 1} + 4) = (x - 1) \log_{3} (3) + 1$

Passaggio 5.3.4.2

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

Passaggio 5.3.4.3

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (3^{x - 1} + 4) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$ è l'inverso di $f (x) = \log_{3} (x - 4) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{x - 1} + 4$